\begin{section}{Apendice I: Notas}

\begin{subsection}{Matriz de Disparo}

Anteriormente se mencionó que la matriz de disparo de nuestro programa podría llegar a ser singular. Es decir, el vector columna que se calculo para reemplazar a la columna \text{i} de la matriz modificada de Hilbert, llamemosla \text{H'}, puede resultar se una combinación lineal de las otras columnas restantes de la matriz \text{H'}.

Para que esto suceda, deben existir $\alpha_{1}$, ...,$\alpha_{n-1}$ tal que la nueva columna que agregaremos, que de ahora en más para facilitar la notación será la columna 0 que reemplazara a la columna $H'_{0}$ , sea de la pinta:

$$col_{0} =   \alpha_{1} . H'_{1} + ... + \alpha_{n-1}.H_{n-1}$$

De esta forma, los posibles vectores LD surgen de la multiplicación de vectores de n-1 variables que pertenecen a $\mathbb{R}^{n-1}$. Sin embargo, los valores de esta $col_{0}$ depende de cada par de \text{x} e \text{y}(donde \text{y} es el vector posición del enemigo), que son vectores de $\mathbb{R}^{n}$. Por porpiedades del Álgebra Lineal, todo conjunto de vectores pertenecientes a $\mathbb{R}^{n-1}$ tienen volumen igual a 0 dentro de $\mathbb{R}^{k}$, con k $\geq$ n. 

Veamos un ejemplo con n = 2:

Sea \text{x = (1,3)}, \text{y = (3,5)} y $H^{2}$ la matriz de Hilbert de n = 2. El despeje de la columna 0 (ya que la primer coordenada del vector \text{x} no es nula) quedaría de la sigueinte manera:
\begin{align*}
H^{2}_{1,1} &= 2 - 3. \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \\
H^{2}_{2,1} &= 5 - 3 = 2 
\end{align*}

Podemos observar a ojo que no existe Alpha tal que $H^{2}_{0} = \alpha H^{2}_{1}$. La cantidad de de columnas LD que se prodrían generar estan representadas por una recta en el plano, que sabemos no tiene volumen en el plano de $\mathbb{R}^{2}$.

Luego de este breve anślisis y de las pruebas efectuadas en la sección de \text{Resultados}, la probabilidad de que se genere una matriz singular es muy baja. Sin bien la probilidad teórica existe, empiricamente decimos que es despreciable.
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Por lo anteriormente mencionado , dado que al trabajar con aritmética finita y matrices muy mal condicionadas al calcular el determinante el error producido por las operaciones hace que el resultado de la operación no sea confiable, y por el tiempo acotado que se dió para realizar el trabajo, no implementamos mecanismos que verifiquen la singularidad de la matriz durante la ejecución del programa, y que en caso que rsultar singular la modifiquen para que deje de serlo sin perder significativa presición en el disparo. 

Sin embargo, se penso un mecanismo para que de poderse detectar si la matriz de disparo generada es singular, alterarla para que deje de serlo. Este mecanismo consiste en sumar un $\varepsilon \in \mathbb{R}$ a la diagonal de la matriz. Luego hay que verificar que ese -$\varepsilon$ no era un autovalor de la matriz (ya que de serlo, la matriz resultante seguiría siendo singular). De suceder esto, se elige otro $\varepsilon$ y se prueba denuevo (ya que al ser las raices del polinomio caracteristico son finitos y rápidamente se econtraría un $\varepsilon$ que sirva). De no ser un autovalor, entonces la matriz H ahora es inversible, y al ser $\varepsilon$ lo suficientemente pequeño, no altera de manera significativa la precisión del disparo. 

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